Bài toán tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol thường hay có mặt trong các đề thi vào lớp 10. Bài toán dạng này có thể phát biểu theo cách khác là: sự tương giao của đường thẳng và parabol. Để làm được dạng toán này thì các bạn cần tiến hành các bước như sau:

  • Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol
  • Bước 2: Giải phương trình vừa lập ở trên, đây là phương trình bậc 2 các bạn có thể giải theo nhiều cách khác nhau.
  • Bước 3: Kết luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình trên.

tim-toa-do-giao-diem-cua-duong-thang-va-parabol

Xem thêm bài giảng:

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bài tập 1: Cho hàm số y=-\dfrac{1}{4}x^2 có đồ thị (P) và đường thẳng d: y=\dfrac{1}{2}x-3. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

-\dfrac{1}{4}x^2=\dfrac{1}{2}x-3

\Leftrightarrow -x^2=2x-12

\Leftrightarrow x^2+2x-12=0

\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{13} hoặc x=-1-\sqrt{13}

Với x=-1+\sqrt{13} ta có y=\dfrac{1}{2}.(-1+\sqrt{13})-3=\dfrac{-7+\sqrt{13}}{2}

Với x=-1-\sqrt{13} ta có y=\dfrac{1}{2}.(-1-\sqrt{13})-3=-\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}

Vậy có 2 giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:

A(-1+\sqrt{13}; \dfrac{-7+\sqrt{13}}{2})B(-1-\sqrt{13}; -\dfrac{7+\sqrt{13}}{2})

Bài tập 2: Cho hàm số y=\dfrac{1}{2}x^2 có đồ thị (P).

a. Chứng minh đường thẳng d: y=2x-2 luôn tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

b. Tìm m để đường thẳng d': y=3mx-2 luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

a. Bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng luôn tiếp xúc với parabol, tức là đường thẳng d là tiếp tuyến tuyến của parabol hay số giao điểm của d và (P) chỉ là 1 giao điểm. Từ đây chúng ta cần chứng minh phương trình bậc 2 lập được có nghiệm duy nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và parabol (P) là:

\dfrac{1}{2}x^2=2x-2

\Leftrightarrow x^2-4x+4=0

\Leftrightarrow (x-2)^2=0

\Leftrightarrow x=2

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất. Vậy d luôn tiếp xúc với (P).

Với x=2 ta có y=2.2-2=2. Vậy tọa độ giao điểm của d và (P) là: A(2;2)

b. Để chứng minh đường thẳng d' và parabol luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình bậc 2 lập được phải có 2 nghiệm phân biệt. Từ đây chúng ta xét điều kiện của \Delta hoặc \Delta'

Phương trình hoành độ giao điểm của d' và parabol là:

\dfrac{1}{2}x^2=3mx-2

\Leftrightarrow x^2-6mx+4=0      (1)

Để d' và (P) có hai giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

\Leftrightarrow \Delta'>0

\Leftrightarrow 9m^2-4>0

\Leftrightarrow (3m-2)(3m+2)>0

\Leftrightarrow m<-\dfrac{2}{3} hoặc m>\dfrac{2}{3}

Vậy với m<-\dfrac{2}{3} hoặc m>\dfrac{2}{3} thì đường thẳng d' luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Chú ý: Với ý (b) của bài 2 nếu bài toán có thay đổi yêu cầu một chút như: tìm m để đường thẳng tiếp xúc với parabol hoặc tìm m để đường thẳng và parabol không có giao điểm thì các bạn làm tương tự nhé. Tức là các bạn chỉ cần xét điều kiện có nghiệm duy nhất hay điều kiện vô nghiệm của phương trình là ok.

Nếu bạn thích bài giảng này, hãy subscribe blog của thầy để thường xuyên cập nhật những bài giảng và đề thi hay nhất, mới nhất qua email nhé. Cảm ơn rất nhiều. ?