Biện luận theo m số nghiệm của phương trình bậc 2

Xin chào các em học sinh, dạng toán biện luận theo m số nghiệm của phương trình bậc 2 luôn là chủ đề không thể bỏ qua trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Dạng này rất dễ nhưng nếu các bạn không để ý hoặc lười học một chút thì lại trở nên rất khó. Do đó hôm nay thầy sẽ gửi tới các em bài giảng về chủ đề biện luận nghiệm của phương trình bậc hai.

Xem thêm bài giảng:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
• Tổng hợp tài liệu, đề thi vào lớp 10 đầy đủ, đáp án chi tiết 
• 6 Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Phương pháp biện luận nghiệm theo tham số m

Chúng ta sẽ sử dụng tới biệt thức $\Delta=b^2-4ac$ để biện luận nghiệm. Bởi phương trình bậc 2 có nghiệm hay không có nghiệm phụ thuộc vào $\Delta$. Ngoài ra tùy vào giả thiết và yêu cầu bài toán cho ta sẽ có thêm những biến đổi khác nữa.

Bài toán áp dụng:

Bài tập 1: Cho phương trình $x^2+(m-3)x-2m+2=0$. Tìm giá trị của m để:

a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b. Phương trình vô nghiệm

c. Phương trình có nghiệm $x=-5$. Tìm nghiệm còn lại.

d. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

e. Phương trình có 2 nghiệm cùng dương

f. Phương trình có 2 nghiệm cùng âm.

Hướng dẫn:

Để giải bài toán trên trước tiên chúng ta sẽ đi tính $\Delta=b^2-4ac =(m-3)^2-4(-2m+2)=m^2+2m+1=(m+1)^2$

a. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$. Mà $\Delta=(m+1)^2 \geq 0$ với mọi giá trị của m. Do đó để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $m+1 \neq 0 \Leftrightarrow m\neq -1$

b. Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm là $\Delta<0$. Nhưng ở trên ta đã biết  $\Delta=(m+1)^2 \geq 0$ với mọi giá trị m. Do đó không có giá trị nào của m làm cho phương trình vô nghiệm.

c. Vì phương trình có 1 nghiệm là $x=-5$ nên ta có: $25-5(m-3)-2m+2=0 \Leftrightarrow m=6$

Với m=6 ta có phương trình là: $x^2+3x-10=0$

Theo ý a với m=6 thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi 2 nghiệm là $x_1, x_2$, giả sử $x_1=-5$ ta sẽ có:

Theo Viet ta có:

$x_1+x_2=-3 \Rightarrow x_2=-3-x_1=-3+5=2$

Vậy với m=6 thì phương trình có 1 nghiệm $x=-5$. Nghiệm còn lại là x=2

d. Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì tích $a.c<0 \Leftrightarrow -2m+2<0 \Leftrightarrow m>1$

e. Để phương trình có 2 nghiệm cùng dương thì:

$\left \{\begin{array}{ll}\Delta \geq 0\\x_1+x_2>0\\x_1.x_2>0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}\Delta \geq 0; �\forall m\\-(m-3)>0\\-2m+2>0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}m<3\\m<1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m<1$

Vậy với m<1 thì phương trình luôn có 2 nghiệm cùng dương.

f. Để phương trình có 2 nghiệm cùng âm thì:

$\left \{\begin{array}{ll}\Delta \geq 0\\x_1+x_2<0\\x_1.x_2>0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}\Delta \geq 0; �\forall m\\-(m-3)<0\\-2m+2>0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}m>3\\m<1\end{array}\right.$ Không tìm được giá trị m

Tóm lại với bài toán biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 theo tham số m thì chúng ta cần quan tâm tới biệt thức $\Delta$ là cốt lõi. Đây chính là chìa khóa để giải quyết mọi vấn đề đầu tiên. Trong bài viết tới thầy sẽ nói thêm về nhiều dạng toán hơn nữa đối với phương trình bậc 2 và tham số m.