Bài toán tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2

Khi nói tới phương trình bậc 2 chúng ta không thể không nhắc tới hệ thức Viet. Phương trình bậc 2 và hệ thức Viet luôn là chủ đề được quan tâm bởi ứng dụng rộng rãi của nó. Đặc biệt với dạng toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó thì hệ thức Viet đóng vai trò vô cùng quan trọng.

Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp làm dạng toán này. Dạng toán này chiếm tới 90% khả năng nằm trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Xem thêm bài giảng:

Để làm được dạng toán này các em cần phải thực hiện 2 bước:

  • Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm
  • Tìm mối liên hệ giữa 2 nghiệm nhờ hệ thức Viet và điều kiện ban đầu bài toán cho. Từ đó sẽ tìm được giá trị của tham số m.

Bài tập tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2

Bài tập 1:

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:  x^2-2(m + 1)x + 2m - 4 = 0.  (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b/ Gọi x_1, x_2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm m để 3( x_1+x_2) = 5x_1x_2

Hướng dẫn:

a. Với bài toán này để chứng minh phương trình bậc 2 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m thì ta cần chứng tỏ \Delta> 0 hoặc \Delta'>0 với mọi  giá trị của m.

Ta có: \Delta'=(m+1)^2-(2m-4)=m^2+2m+1-2m+4=m^2+5 >0 với mọi giá trị m

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b. Theo ý a thì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x_1, x_2.

Theo hệ thức Viet ta có: x_1+x_2=2(m+1)x_1.x_2=2m-4

Ta có:

3( x_1+x_2) = 5x_1x_2

\Leftrightarrow 6(m+1)=5(2m-4)

\Leftrightarrow 4m=26

\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{2}

Vậy với m=\dfrac{13}{2} thì phương trình luôn có hai nghiệm x_1, x_2 thỏa mãn 3( x_1+x_2) = 5x_1x_2

Bài tập 2:  Cho phương trình bậc hai ẩn x: x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0

a. Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x_1, x_2 không phụ thuộc vào m.

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x_1^2+x_2^2=8

Hướng dẫn:

a. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x_1, x_2 không phụ thuộc vào m có nghĩa là các em phải tìm một hệ thức nào đó chỉ chứa hai nghiệm x_1, x_2 và hằng số, không được có mặt của m ở trong đó.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: \Delta \geq 0 \Leftrightarrow (m-1)^2-(m^2-3m) \geq 0 \Leftrightarrow m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m\geq -1.

(Chú ý: Bài toán yêu cầu có 2 nghiệm nên hai nghiệm này có thể bằng nhau hoặc khác nhau)

Với điều kiện có 2 nghiệm của m ở trên thì ta gọi  hai nghiệm là x_1, x_2.

Theo hệ thức Viet ta có: x_1+x_2=2m-2, x_1.x_2=m^2-3m

Từ x_1+x_2=2m-2\Rightarrow m=\dfrac{x_1+x_2+2}{2} thay vào tích x_1.x_2 ta có:

 x_1.x_2=m^2-3m

 \Leftrightarrow x_1.x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2+2}{2}\right)^2-3.\dfrac{x_1+x_2+2}{2}

Các em thấy biểu thức trên là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x_1, x_2 mà không có tham số m.

Vậy x_1.x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2+2}{2}\right)^2-3.\dfrac{x_1+x_2+2}{2} chính là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình mà không phụ thuộc vào tham số m.

b. Theo ý (a) thì với m\geq -1 phương trình có 2 nghiệm x_1, x_2.

Theo hệ thức Viet ta có: x_1+x_2=2m-2, x_1.x_2=m^2-3m

Theo giả thiết:

x_1^2+x_2^2 =8

\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=8

\Leftrightarrow (2m-2)^2-2(m^2-3m)=8

\Leftrightarrow m^2-m-2=0

\Leftrightarrow m=-1 hoặc m=2  (thỏa mãn điều kiện của \Delta)

Vậy với m=-1 hoặc m=2 thì phương trình có hai nghiệm x_1, x_2 thỏa mãn: x_1^2+x_2^2 =8

 Trên đây là 2 bài toán liên quan tới biện luận nghiệm phương trình có tham số m và hệ thức Viet. Về dạng này thì chỉ xoay quanh điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 và điều kiện sử dụng Viet. Tức là bằng mọi cách các em phải đưa về được tổng và tích hai nghiệm. Khi đó mới biến đổi được và tìm được giá trị m. Chúc các em học tốt.

Tham gia nhóm học toán thầy cường:facebook.com/groups/loptoanthaycuong

About Daytoan

Daytoan.net - Blog Học Toán Cấp 2

View all posts by Daytoan →

12 Comments on “Bài toán tìm m và hệ thức Viet trong giải phương trình bậc 2”

      1. thầy ơi cho e hỏi, thầy có thể ví dụ 1 số bài dạng đề kiểu như này cho e được ko? nếu được thầy trả lời cho e ạ, rồi e sẽ đọc đề bài

    1. Trước ngoặc có dấu trừ khi bỏ ngoặc thì trong ngoặc đổi dấu s bạn

  1. nêu cho pt :x2-2mx-1=0.tim m de phuong trinh co hai nghiem x1,x2 thoa man x1^2+x2^2=7. giai giup em dc k a

  2. thưa thầy nếu đk của nghiệm là (x1^2 - 2mx1 + m^2)(x2+1) = 1 thì làm ntn ạ?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *